Отыскать общий интеграл дифференциального уравнения.

Перепишем уравнение в виде (2*x-1-y/x)*dx+(1/x-2*y)*dy=0
Дифференцируя многочлен при множителе dx по y, получаем -1/x. Дифференцируя многочлен при множителе dy по x, получаем также -1/x.
Но если для дифференциального уравнения P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy =0 производится тождество dP/dy=dQ/dx, то выражение P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy является полным дифференциалом некой функции u(x,y), то есть P(x,y)*dx+Q(x,y)*dy=du. А так как du=0, то u(x,y)=const, и это выражение и является общим интегралом уравнения. Найдём функцию u(x,y).
Как знаменито, du=du/dx*dx+du/dy*dy, откуда P(x,y)=du/dx и Q(x,y)=du/dy. В нашем случае du/dx=2*x-1-y/x, откуда du=(2*x-1-y/x)*dx и u(x,y)=(2*x-1-y/x)*dx=x-x+y/x+C(y), где C(y) - неведомая пока функция. Дифференцируя сейчас это равенство по y, получаем du/dy=1/x+C'(y). Из равенства 1/x+C'(y)=1/x-2*y обретаем C'(y)=-2*y, откуда C(y)=-2*y*dy=-y. Тогда конечно u(x,y)=x-x+y/x-y и общим интегралом является выражение x-x+y/x-y=C, где C=const. Ответ: x-x+y/x-y=C.