А,В и С попарно обоюдно простые естественные числа.Отыскать все вероятные значения

Естественные числа обоюдно простые, если они не имеют никаких общих делителей, кроме 1.

Обозначим N=(A+B)*(A+C)*(B+C)/(A*B*C), по условию это целое число.
Перепишем (A+B)*(A+C)*(B+C) = N*A*B*C
Если посреди естественных чисел А, В, С есть однообразные, то можно принять, что А=В (нет никакой различия, какую пару чисел считать одинаковой). Но тогда величайший общий делитель чисел А и В равен числу А, и равен 1. Т.е. А=В=1.
Подставив эти значения в выражение (A+B)*(A+C)*(B+C) = N*A*B*C, получим: 2*(С+1)*(С+1) = N*C. Отсюда следует, что 2 делится на С; и следовательно, С=1 либо С=2.
Таким образом, имеем две тройки чисел: А=1, В=1, С=1 и А=1, В=1, С=2

Сейчас разглядываем случай, когда числа А, В и С попарно разны. Для однозначности будем считать, что А lt; B lt; C.
Если два числа взаимно простые, то сумма этих чисел обоюдно проста с каждым из их, потому из нашего выражения (A+B)*(A+C)*(B+C)=N*A*B*C следует, что А+В=M*С и А+С=К*В, где М и К - естественные числа.
Т.к. А+B lt; 2*C (см. выше, где мы приняли, что А lt;B lt; C), то М*С lt; 2*C, либо M lt; 2, т.е. М=1, и следовательно, А+В=М*С=1*С=С.
Выразим С из А+С=К*В и подставим в А+В=С:
С=К*В-А
А+В = К*В - А, откуда 2*А = (К-1)*В
Т.к. А и В взаимно простые, то 2 делится на В.
Беря во внимание, что 1 A lt; B, получаем, что Bgt;1 и, означает, В=2. Тогда А=1 и С=3.
Итак, ещё одна тройка чисел А=1, В=2, С=3

Итого три тройки чисел:
1,1,1
1,1,2
1,2,3