У шахматной дощечки отпилены два поля: левое нижнее и правое верхнее.

Ни в коем случае. Мы можем обосновать это строго логический. Левое нижнее и правое верхнее поля обе белоснежные. И если их отпилить, то останется всего 30 белоснежных клеток и 32 черных(в обычном состоянии белых и черных по 32 поля).
Каждая плитка которая вы поставите на доску будет покрывать ровно одну белую и одну черную часть и никак по другому. Из этого следует что если белоснежных на два меньше, то в любом случае остается желая бы одна черная часть которая остается без плитки, так как пара в виде белого поля для него у же не будет.