число естественных делителей числа 8^n+2 x 12^n-3 одинаково 42. Найдите натуральное

После 12 идёт в ступени n-3? или в ступени только n?

n-3

n+2 тоже?

да

После 12 идёт в степени n-3? либо в ступени только n?

n-3

n+2 тоже?

да

После 12 идёт в ступени n-3? либо в степени только n?

n-3

n+2 тоже?

да

Сначала определим, как выглядят все делители заданного числа. Для этого стоит разложить его на обыкновенные множители:



Из этого разложения заключаем, что все делители имеют вид: , где , 

По условию это число имеет 42 естественных делителя.
1)Пусть сначала , то есть, каждый из 42 делителей есть ступень двойки. Очевидно, что эти делители размещаются только в порядке возрастания ступеней двойки "без пропусков"(по другому получится число, имеющее более 42 делителей), потому (меж 0 и 41 размещается ровно 42 естественных числа). А чтоб всех таких делителей вида  было ровно столько, нужно, чтоб 

Если ,то таких делителей меньше 42, если , то больше.
Итак, , откуда  - не естественное число. Потому делаем вывод: посреди делителей данного числа не могут содержаться только лишь ступени двойки.

2)Повторим рассуждения для ступеней тройки. 
Пусть  для всех делителей. Тогда они имеют вид 
В силу рассуждений предыдущего пт,, откуда
- натуральное число. Этот случай вполне нас может устраивать, но тут обязательна проверка - подстановка n в запись числа и прикидка количества делителей. Подставляя, имеем число:

Но мы видим, что число имеет 220 делителей, только только являющихся ступенями двойки, не говоря про другие делители(то есть, их не 42 очевидно). Поэтому  условию задачки не удовлетворяет.

3)Пусть сейчас имеем посреди делителей и делители "смешанной" породы. 

Как отыскать нам теперь n?
Пусть у нас есть какое-или число вида . Какова структура делителей данного числа? Их три вида:
а)Вида . Явно, что , а потому всего их ;
б)Вида . Ясно, что , а всего их n-3+1 = n-2 
Плюс ко всему замечаем, что два раза получается в делителе 1. Так что один излишний делитель я выкидываю.
О чём это всё разговаривает? О том, что "незапятнанных" делителей в точности 
(убираем 1 отсюда)

в)Смешанные делители вида . Сколько их? Тут уже фактически незапятнанная комбинаторика. Подсчитываем общее возможное число делителей.
        На каждую из  ступеней числа 2(всего их , но 0 не врубается, а поэтому только 5n) можно поставить одну из  ступеней числа 3(всего их , но 0 не включаем, а потому n-3). Соответственно, получаем  их композиций. 

Всего делителей 42, так что
- не естественное и даже не целое число.
 
 
 Таким образом,    . Произведём проверку:
                
            - действительно, число имеет 42 натуральных делителя(40 - хороших от 1 и самого числа, и 2 особых делителя - само число и 1).