При каких значениях параметра a многочлена...

f(x) = (x^2 - (3a-4)x - 12a)(x^2 - (a-3)x - 3a)(x - 4)

1) Корень 4 в первой, как в заключительной скобке.

4^2 - (3a-4)*4 - 12a = 0

16 - 12a + 16 - 12a = 0

32 = 24a

a = 32/24 = 4/3

2) Тот же корень 4 во второй скобке.

4^2 - (a-3)*4 - 3a = 0

16 - 4a + 12 - 3a = 0

28 = 7a

a = 28/7 = 4

3) Могут быть одинаковые корешки в 2-ух первых скобках.

x^2 - (3a-4)x - 12a = x^2 - (a-3)x - 3a = 0

-(3a-4)x + (a-3)x = 12a - 3a

(1-2a)x = 9a

x = 9a/(1-2a)

Подставляем во 2 скобку и приравниваем её к 0.

81a^2/(1-2a)^2 - 9a(a-3)/(1-2a) - 3a = 0

Умножаем все на (1-2a)^2

81a^2 - (9a^2-27a)(1-2a) - 3a(1-2a)^2 = 0

a(81a - 9a + 27 + 18a^2 - 54a - 3 + 12a - 12a^2) = 0

a(6a^2 + 30a + 24) = 0

6a(a + 1)(a + 4) = 0

a = 0; a = - 1; a = - 4

4) Первая скобка может быть квадратом.

x^2 - (3a-4)x - 12a = (x - k)^2 = x^2 - 2kx + k^2

Получаем систему

3a - 4 = 2k

- 12a = k^2

Подставляем 1 уравнение во 2.

a = (2k+4)/3

-4(2k+4) = k^2

0 = k^2 + 8k + 16 = (k + 4)^2

k = - 4; a = (-8+4)/3 = - 4/3

5) 2-ая скобка тоже может быть квадратом.

x^2 - (a-3)x - 3a = (x - k)^2 = x^2 - 2kx + k^2

Система

a - 3 = 2k

- 3a = k^2

Подставляем 1 уравнение во 2.

a = 2k+3

-6k - 9 = k^2

0 = k^2 + 6k + 9 = (k+3)^2

k = - 3; a = -6 + 3 = - 3

Ответ: 4/3; 4; 0; - 1; - 4; - 4/3; - 3.