Задачка 5. Сколько решений имеет уравнение sin x = 10x

Поначалу можно отыскать явный корень x=0. Далее рассмотрим функцию y(x)=sin(x)-10x. Ее производная одинакова y'(x)=cos(x)-10, которая непрерывно меньше 0. Это означает, что функция непрерывно убывает и пересекает прямую y=0 лишь единожды. Это означает, что решение x=0 единственное.

sinx=10^x

Ну, тогда неисчерпаемо много решений, поскольку при x->-inf функция y(x)=10^x устремляется к 0 асимптотически и пересекает график функции y(x)=sin(x) в нескончаемом множестве точек.....Это понятно будет, если нарисовать график.

Только одно х=0. Так как у=10х - ровная, проходящая через начало координат, а синусоида тоже проходит через начало координат. Синусоида колеблется вокруг оси ох, а ровная уходит достаточно круто в плюс и минус бесконечность. Так что общих точек больше не будет.

Ответ: х=0 - единственное решение.

Одним из решений, явно, является x=0. Так как /sin x/1, то решения могут существовать только на промежутке [-0,1;0,1]. Производные функций sin(x) и 10*x соответственно одинаковы cos(x) и 10, на промежутке [-0,1;0,1] обе производные положительны и обе функции возрастают. Но так как cos(x)lt;10, то на промежутке [0;1] функция sin(x) возрастает медлительнее, чем  функция 10*x. Потому на этом интервале 10*xgt;sin(x), так что иных решений, не считая x=0, на этом интервале нет. А так как обе функции - нечётные, то нет их и на интервале [-0,1;0). Ответ: 1 решение.