Докажите, что выражение 4х^2+2y^2-4xy-4x+2y+2 воспринимает лишь положительные значения при

Сгруппируем члены данного многочлена:
4х+2y-4xy-4x+2y+2 = (4х - 4ху + у) + (у + 2y +1) + 1 = (2x - y) + (y + 1) + 1.
Слагаемое (2x - y) - неотрицательно при всех х и у; слагаемое (y + 1) - также неотрицательно при всех у. Потому при всех х и у сумма этих слагаемых неотрицательна.
Если к этой сумме прибавить 1, то общая сумма (т.е. исходный многочлен) при любых х и у становится положительным.
Подтверждено.

P.S. Заметьте, обошлись без дискриминанта ))).