ДАЮ 45 БАЛЛОВ Помогите пожалуйста отыскать величайшее и наименьшее значение функции

y = 2sin x + cos 2x

Производная

y' = 2cosx - 2 sin 2x

Критические точки при y' = 0:

Решаем уравнение

2cos x - 2sin 2x = 0

cos x - 2sin x cos x = 0

cos x (1 - 2sin x) = 0

1) cos x = 0 в данном интервале это уравнение имеет 2 решения:

х1 = /2 и х2 = 3/2

2) 1 - 2sin x = 0

sin x = 1/2 в данном промежутке это уравнение имеет два решения:

х3 = /6 и х4 = 5/6

Разбиваем весь интервал от 0 до 2 критичными точками и проверяем знаки производной в каждом из интервалов. Получаем такую картину:

      +           -            +                  -                   +

._____ . ______ . ______ . _________ . __________ .

0        /6          /2          5/6           3/2                2

В точках х = /6 и х = 5/6  максимум уmax = 20.5 + 0.5 = 1.5

В точке х = /2 локальный минимум уmin = 21 + (-1) = 1

В точке х = 3/2 также локальный минимум уmin = 2(-1) + (-1) = -3

На концах интервала

х = 0 у = 0 + 1 = 1

х = 2 у = 0 + 1 = 1

Ответ: у наиб = 1,5; у наим - -3

Y=2sinx+cos2x ; [0;2]
y'=2cosx-2sin2x
y'=0
2cosx-2sin2x=0
cosx-2sinxcosx=0
cosx(1-2sinx)=0
cosx=0;x=/2;x=3/2
sinx=1/2;x=/6;x=5/6
y(0)=2sin0+cos0=1
y(2)=2sin2+cos4=1
y(/2)=2sin/2+cos(2*/2)=2-1=1
y(3/2)=2sin3/2+cos3
=-2-1=-3
y(/6)=2sin/6+cos/3=
21/2+1/2=3/2
y(5/6)=2sin5/6+cos5/3=21/2+cos(2-/3)
=1+1/2=3/2
ymax=3/2
ymin=-3