у верно чотирикутно прамди двогранний кут при ребр основи дорвейвню а.Знайдть

Дана верная четырёхугольная пирамида РАВСД.

Проведём в ней апофему А (отрезок РК), точку К соединим с точкой О (проекцией верхушки Р на основание).

Тогда угол РКО - это заданный угол наклона боковой грани к основанию.

Боковые рёбра одинаковы m.

Длину стороны основания примем одинаковой а.

Отрезок КО равен половине стороны основания, тогда апофема А равна:

А = (а/2)/cos .

Из прямоугольного треугольника РКА имеем:

m = (a/2) + A = (a/4) + (a/(4cos)) = (a/4)/(1 + (1/cos)).

Отсюда определяем величину стороны основания:

a = (2m*cos )/(1+cos) и её половину (а/2) = (m*cos )/(1+cos) и апофему А через данные значения: А = m/(1 + cos).

Определяем высоту Н пирамиды.

Н = (А - (а/2)) = ((m/(1 + cos)) - ((m*cos )/(1+cos)).

Вынесем m за скобки и из корня:

Н = m((1 - cos )/(1+cos)). Заменим 1 - cos на sin и вынесем из корня.

H = (m*sin)/((1 + cos).

Теперь можно отыскать объём пирамиды.

V = (1/3)SoH = (1/3)*((4m*cos )/(1+cos))*((m*sin)/((1 + cos)) =

= (4mcos*sin )/(3((1 + cos)^(3/2))).