В кружок пришло 35 ребят. Оказалось, что есть 10 из их,

Назовём десятерых, о которых идёт речь в задаче, знатоками, а остальных членов кружка дружками. Будем говорить, что знаток портит пару дружков, если он не знает никого из этой пары. По условию каждый знаток знает более 50/3, то есть не меньше 17 дружков. Означает, он незнаком самое большее с 8 дружками и может попортить максимум 87/2 = 28 пар дружков. Стало быть, совместно все 10 знатоков могут попортить максимум 280 пар дружков, а всего пар дружков 2524/2 = 300. Поэтому найдется неиспорченная пара дружков (и даже не меньше 20 таких пар), что и требовалось доказать.