Интересная задачка...

4/3 ?

(*)Осмотрим сумму 4 чисел: ; Пусть их сумма фиксирована и одинакова S. Тогда малая сумма им оборотных чисел одинакова 4/S; Вернемся к задачке. . Получаем: . Принимая во внимание все то, что было сказано в (*), получаем, что по последней мере два из 4 слагаемых в нашей сумме обязаны быть максимальны. Пусть тогда ; Если бы и sin z равнялся бы 1, то sin t =0 и котангенс не определен. Означает необходимо отыскать максимальное значение двух заключительных слагаемых, беря во внимание, что . Их наибольшее значение одинаково 1/2 = 0,5; В итоге получаем значения котангенсов: 0; 0; 0,5; 0,5. Их сумма одинакова 2.

=============

Сообразно (*), можно было бы сказать, что малая сумма равна 4. Но примечание было рассчитано на числа, для которых не существует понятия максимум.

=============

Иной метод:

Котангенс - это отношение косинуса к синусу. Потому его минимум достигается при минимуме косинуса и максимуме синуса. Сообразно (*) наибольшее значение косинуса 1/2. Минимум синуса - 0 (не "связанного" со значением косинуса 1/2) В итоге получаем 4*0,5 = 2. Светло, что мы отыскали раздельно значение синуса и косинуса, хотя они связаны тригонометрическим тождеством. Тем не наименее, достаточно просто обосновать, что "вязка" синуса и косинуса происходит обыденным рассредотачиванием значений. Поэтому достаточно привести пример, в подтверждение того, что минимум равен 2:

Честно разговаривая, тяжело расписать какое-или конкретное решение, когда имеются 4 переменных. Потому чисто "анализ" задачки, но с ответом.

Сумма квадратов косинусов 4 переменных одинакова 1.



Предположим, что 2 переменные будут одинаковы ,

тогда



Мы знаем, что

Создадим иное предположение.

Увеличим величину z на любое число между 0 и /4, и уменьшим число t на такое же число.

Значение суммы квадратов косинусов не поменялось, но сумма котангенсов начала возрастать. Можно сделать вывод, что сумма котангенсов имеет меньшее значение при /4. Это легко проверить.

Представим прямоугольный треугольник. Котангенс острого угла - отношение прилежащего катета к противолежащему. Тангенс - отношение противолеж. к прилежащему. ctg /4 = tg /4 = 1.

Малая сумма ctg и tg - одинакова 2.

ctg = 1 : tg

Допустим, что ctg = 4, тогда tg = 1/4=0,25 , tg + ctg = 4;

уменьшим в 2 раза значение ctg ;

ctg =2, tg =1/2=0,5 , tg + ctg = 2,5

Продолжая убавление в 2 раза мы придём сначала к единице, а после, убавляя значение tg либо ctg, т.е. делая его не равным 1, мы увидим суммы, которые устремляются к бесконечности.

Итак, у нас есть 2 значения, одинаковых нулю и 2 одинаковых единице. Получаем итог, 2.

2 - это малая сумма.

Более светлого и правильного обоснования ответа дать не могу.