дан верный тетраэдр с ребром 106 найдите радиус вписанного в него

Вышина правильного тетраэдра Н = а2/3 = 106*2/3 = 20.

Проекция апофемы на основание одинакова (1/3)h = (1/3)*(a3/2) =

= (1/3)*(106*3/2) = 52.

Тангенс угла наклона боковой грани к основанию равен 20/(52) =4/2 =

= 22.

Центр вписанного шара находится на биссектрисе этого угла.

То есть, надобно отыскать тангенс половинного угла.

Используем универсальную подстановку, приняв тангенс половинного угла за t.

tg = 2t/(1 - t).

Выразим отсюда t через tg .

Получаем квадратное уравнение tg *t + 2t - tg = 0.

Подставив tg = 22, получим 22*t + 2t - 22 = 0.

Квадратное уравнение, решаем условно t:

Разыскиваем дискриминант:

D=2^2-4*2*2*(-2*2)=4-4*2*2*(-2*2)=4-8*2*(-2*t2)=4-(-8*2*2*2)=4-(-16*2*2)=4-(-16*(2)^2)=4-(-16*2)=4-(-32)=4+32=36;

Дискриминант больше 0, уравнение имеет 2 корня:

t_1=(36-2)/(2*2*2)=(6-2)/(2*2*2)=4/(2*2*2)=4/(4*2) = 4/4/2 = 1/2 0.7071068;

t_2=(-36-2)/(2*2*2)=(-6-2)/(2*2*2)=-8/(2*2*2)=-8/(4*2) = -8/4/2=-2/2root2 -1.4142136.

Принимаем положительное значение tg(/2) = 1/2.

Получаем ответ: R = 52*(1/2) = 5.