Отыскать решение дифференциального уравнения и приватное решение удовлетворяющее исходным

Поначалу решаем соотв. однородное уравнение, запишем его характеристическое уравнение

имеем случай кратных реальных корней, означает общее решение однородного уравнения

Дальше применим способ разновидности. Тогда

Откуда получим

Интегрированием обретаем

Как следует общее решение уравнения запишется как (переобозначим константы A и B )

либо

Соотв. постоянные для нашей задачки Коши находятся из системы

Откуда

1. Общее решение однородного уравнения y'' - 6y' + 9y = 0

k^2 - 6k + 9 = 0

(k - 3)^2 = 0

k = 3

y = (ax + b)*e^(3x)

2. Частное решение неоднородного y'' - 6y' + 9y = 9x^2 - 12x + 2

Т.к. k lt;gt; 0, ищем y в виде px^2 + qx + r

2p - 6(2px + q) + 9(px^2 + qx + r) = 9x^2 - 12x + 2

9px^2 = 9x^2 -gt; p = 1

-12px + 9qx = -12x -gt; q = 0

2p - 6q + 9r = 2 -gt; r = 0

y = x^2

Общее решение: y = x^2 + (ax + b)*e^(3x)

3. Исходные условия в т. 0

y(0) = b = 1

y'(0) = 2x + 3(ax + b)*e^(3x) + a*e^(3x) = 3b + a = 3

b = 1, a = 0

y = x^2 + e^(3x)