а) Точку M снутри треугольника соединили с его верхушками, в результате треугольник разбился

1) Пусть G - точка скрещения медиан AD, BE и CF. Площадь треугольника ABE равна половине площади треугольника ABC, так как у этих треугольников вышины, проведенные из верхушки B, одинаковы, а основание AE в два раза меньше основания AC. Дальше, так как медианы в точке скрещения делятся в отношении 2 к 1, считая от верхушки, площадь треугольника ABG в два раза больше площади треугольника AGE, то есть площадь ABG - это 2/3 площади ABE, то есть (23)(1/2)=1/3 площади ABC. Этим мы обосновали, что треугольники ABG, BCG и CAG равновелики. Докажем сейчас, что если для некой точки M, лежащей снутри треугольника, площади ABM, BCM и CAM равны, то M=G. Если это не так, то точка M лежит внутри 1-го из треугольников ABG, BCG, CAG, либо на одной из сторон AG, BG, CG. Если точка M лежит снутри ABM или на AG либо на BG, площадь ABM будет меньше площади ABG, а тогда треугольники ABM, BCM и CAM не будут равнозначащими. Аналогично рассматриваются другие случаи.

2) Воспользуемся формулой Пика, по которой площадь многоугольника с вершинами в узлах клетчатой бумаги со стороной квадратов 1 одинакова

где n - количество узлов снутри многоугольника, m - число узлов на сторонах многоугольника и в его верхушках. В нашем случае n=1, m=3, потому площадь треугольника ABC равна 1+3/2-1=3/2. По той же формуле площади треугольников ABO, BCO, CAO равны 0+3/2-1=1/2, потому эти треугольники равновелики, а тогда по первому пт O является точкой пересечения медиан.

Мы представили, что стороны клеток равны 1. Если это не так, можно дополнительно осмотреть клетчатую бумагу со стороной 1 и треугольник, сходственный нашему, с верхушками в узлах новейшей решетки. Для нового треугольника утверждение подтверждено, а тогда и для начального утверждение также правосудно. Иная возможность рассуждения состоит в внедрении новейшей единицы длины, равной стороне клеточки. Тогда формула Пика оказывается справедлива и для такой бумаги.