С подмогою тройного интеграла вычислить объем тела, ограниченного данными поверхностями.

Перепишем уравнения в цилиндрической системе координат: (x, y, z) изменяются на (r, , z) по формулам x = r cos( - arctg 3/4), y = r sin( - arctg 3/4) арктангенс возник из уразумений удобства, чтоб третье уравнение выглядело поприличнее. Откуда отсчитывать углы, для нас не принципиально.

1-ое уравнение: 


2-ое уравнение не изменяется.

Третье уравнение:


Итак, уравнения поверхностей, ограничивающих тело, выписаны выше: r = 2, z = 1, z = 12 - 5r sin . Тело, которое они ограничивают, изображено на приложенном рисунке: это часть цилиндра, вырезанная 2-мя плоскостями.

Сформулируем условия в виде неравенств. 
1 z 12 - 5r sin 
0   2
0 r 2

Осталось вспомнить, что элемент объёма в цилиндрических координатах есть dV = r dr d dz, и вычислить интеграл:


Ответ: 44.

________________________________________

Для самопроверки получим этот ответ без интеграла. 
Самая нижняя точка, в которой наклонная плоскость пересекает цилиндр, это z = 12 - 5 * 2 = 2, самая высокая z = 12 + 5 * 2 = 22. Тогда объём равен сумме объёма цилиндра с вышиной 2 - 1 = 1 и половины объёма цилиндра с вышиной 22 - 2 = 20.
V = S * (h1 + h2 / 2) = 4 * (1 + 10) = 44