Помогите пожалуйста найти решения уравнения a*(a^2-1)=2b^2 в естественных числах

если для вас что-то даст, то уравнение смотрится так: (a-1)a(a+1)=2b^2. Откуда понимаем, что b^2:3, т.е. b^2:9, т.к. (a-1), a, (a+1) в сумме дают 3a:3. Дальше не понял к раскаянию как решать

Потому что уравнение по-моему решений в натуральных числах не имеет. Вроде обосновал, но не уверен.

Заметим, что a и a^2 - 1 обоюдно просты. Тогда, так как 2 обязано заходить в разложение этих 2-ух чисел на обыкновенные множители в нечётной ступени, а все остальные обыкновенные делители в чётной, есть два возможных варианта: либо a = m^2 и a^2 - 1 = 2n^2, или a = 2m^2 и a^2 - 1 = n^2.

1) a = m^2, a^2 - 1 = 2n^2, т.е. m^4 - 1 = 2n^2

(m - 1)(m + 1)(m^2 + 1) = 2n^2

Явно, m нечётно. Подставим m = 2a - 1:

2(a - 1) * 2a * 2(2a^2 - 2a + 1) = 2n^2

4(a - 1) a (a(a - 1) + 1) = n^2

n чётное. Подставляем n = 2b:

(a - 1) a (a(a - 1) + 1) = b^2

Поскольку три множителя в левой доли попарно обоюдно просты, а их произведение полный квадрат, то каждый сомножитель  полный квадрат. Но тогда a - 1 и a полные квадраты, отличающиеся на единицу, таких квадратов в натуральных числах нет.

2) a = 2m^2, a^2 - 1 = n^2

a^2 - n^2 = 1

(a - n)(a + n) = 1

a + n 1 так не бывает для естественных чисел.

Ответ. естественных решений нет