На дощечке написано 88 различных натуральных чисел, великих 1000. Их сумма

Найдем наибольшее количество схожих чисел.

Осмотрим любое число на дощечке. Для данной суммы числа с его последними тремя цифрами существует не более одной подобной суммы, но теснее с иным числом. Иначе разговаривая, - имеет единственное решение для данных чисел a,b,c,d; Пусть это выполняется для чисел на дощечке. Сейчас осмотрим числа в тетради. Из вышесказанного следует, что эти 88 чисел можно разбить определенным образом на 44 пары, где в каждой паре будет два схожих числа. То есть может получиться 44 одинаковых числа. Но это с одной стороны. Осмотрим иную сторону. Заметим, что сумма всех чисел нечетна - 999 999. Следовательно, в этой сумме есть хотя бы одно нечетное число. Взглянем на сумму числа с его 3-мя последними цифрами: ; Если число четное, то d - четно, означает результат делится на 4. Если d - нечетно, то итог не делится на 4. Раз существует желая бы одно нечетное число, то осмотрим одну из 44-ех пар, где четное и нечетное число. В самом начале мы произнесли, что в 44 парах одинаковые числа. Но из вышесказанного следует противоречие - сумма четного числа с его заключительными 3-мя цифрами не может равняться сумме некоего нечетного числа с его заключительными тремя цифрами, так как заключительное не делится на 4, в отличие от четного. Это значит, что желая бы одна пара будет содержать различные числа. То есть наибольшее количество одинаковых чисел равно 44-1=43. А малое количество разных чисел одинаково 88-43 = 45. Значит всегда найдется по последней мере 45 разных чисел.