Треугольник ABC вписан в окружность радиуса R. На гранях AB и

Так как , то треугольники MAN и BAC подобны. Означает MN параллелен BC BMNC - трапеция. При этом BN и MC - диагонали. В трапеции отрезок, соединяющий середины оснований, продолжения боковых сторон и точка скрещения диагоналей лежат на одной прямой. Как следует, AT - медиана треугольника ABC. Заметим, что отношение "расстояний" пройденных точками A и O одинаково искомому отношению поперечников окружностей, что одинаково отношению радиусов. Точка T зафиксирована. Спроецируем путь пройденный точкой O на вертикальную ось. Получим длину диаметра окружности. Данный диаметр пропорционален длине отрезка OT. Точка A пройдет весь путь окружности, проекция этого пути равна поперечнику описанной окружности. Так как точка O лежит на отрезке AT, то пройденный путь пропорционален диаметру описанной окружности с тем же коэффициентом пропорциональности, что и отношение отрезка OT к подходящему пути. Получили, что искомое отношение радиусов одинаково отношению . Пусть MB = x, AM = 3x; AN = 3y; NC = y; TC = BT; По аксиоме Менелая: , Означает ; Ответ: 7:1