в прямоугольном параллелепипеде abcda1b1c1d1 ab=2, ad=6, aa1=4. k-середина ad, m-середина

Введём прямоугольную систему координат с началом координат в точке В (см. рис.).

Найдём координат точек:

K (2; 3; 0), M (0; 0; 2), N (1; 0; 4), C (0; 6; 4), D (2; 6; 4).

Найдём уравнение плоскости (KMN):

A(x - 2) + B(y - 3) + Cz = 0

A(0 - 2) + B(0 - 3) + C(2 - 0) = 0

A(1 - 2) + B(0 - 3) + C(4 - 0) = 0

A(x - 2) + B(y - 3) + Cz = 0

-2A - 3B + 2C = 0

-A - 3B + 4C = 0

-A - 3B + 4C = 0

A + 2C = 0

A(x - 2) + B(y - 3) + Cz = 0

A = -2C

2C - 3B + 4C = 0

A(x - 2) + B(y - 3) + Cz = 0

A = -2C

2C - B = 0

A(x - 2) + B(y - 3) + Cz = 0

A = -2C

B = 2C

-2C(x - 2) + 2C(y - 3) + Cz = 0

-2(x - 2) + 2(y - 3) + z = 0

-2x + 4 + 2y - 6 + z = 0

-2x + 2y + z - 2 = 0

Обычный вектор к (KMN): n (-2; 2; 1).

Координаты проекции точки C (0; 6; 4): C (x; y; z).

Вектор CC (0 - x; 6 - y; 4 - z) вектору n (-2; 2; 1).

- x = -2k

6 - y = 2k

4 - z = k

x = 2k

y = 6 - 2k

z = 4 - k

C (KMN)

-22k + 2(6 - 2k) + 4 - k - 2 = 0

-4k + 12 - 4k + 2 - k = 0

14 - 9k = 0

k = 14/9

x = 214/9 = 28/9

y = 6 - 214/9 = 26/9

z = 4 - 14/9 = 22/9

C (28/9; 26/9; 22/9)

Координаты проекции точки D (2; 6; 4): D (x; y; z).

Вектор DD (2 - x; 6 - y; 4 - z) вектору n (-2; 2; 1).

2 - x = -2k

6 - y = 2k

4 - z = k

x = 2 + 2k

y = 6 - 2k

z = 4 - k

D (KMN)

-2(2 + 2k) + 2(6 - 2k) + 4 - k - 2 = 0

-4 - 4k + 12 - 4k + 2 - k = 0

10 - 9k = 0

k = 10/9

x = 2 + 210/9 = 38/9

y = 6 - 210/9 = 34/9

z = 4 - 10/9 = 26/9

D (38/9; 34/9; 26/9)

CD = ((38/9 - 28/9) + (34/9 - 26/9) + (26/9 - 22/9)) =

= ((10/9) + (8/9) + (4/9)) = (100 + 64 + 16)/9 = 180/9 = 65/9 = 25/3.