Можно ли квадрат естественного числа записать с поддержкою 3 единиц, 4

Используем свойство: aS(a) (mod 9), где а - число, S(a) - сумма цифр числа. При этом, природно, правильно и S(a)S(S(a)) (mod 9) и т.д. По сущности, окончательная сумма числа(сумма его цифр, приведенная к одной цифре. Пример: 169; 1+6+9=16; 1+6=7; 7 - и есть окончательная сумма) одинакова его остатку от разделенья на 9( если число не кратно 9) либо 9(если число кратно 9).

Рассмотрим вероятные остатки от разделения чисел вида x на 9.

1) x1(mod 9) x1*1(mod 9)1( mod 9)

2) x2(mod 9) x2*2(mod 9)4(mod 9)

3) x3(mod 9) x3*3(mod 9)0(mod 9)

4) x4(mod 9) x4*4(mod 9)16(mod 9)7(mod 9)

5) x5(mod 9) x5*5(mod 9)25(mod 9)7(mod 9)

6) x6(mod 9) x6*6(mod 9)36(mod 9)0(mod 9)

7) x7(mod 9) x7*7(mod 9)49(mod 9)4(mod 9)

8) x8(mod 9) x8*8(mod 9)64(mod 9)1(mod 9)

9) x0(mod 9) x0(mod 9)

Как лицезреем, могут быть последующие остатки при делении на 9 квадратов естественных чисел: 0; 1; 4 и 7. То есть конечная сумма любого квадрата равна одному из этих чисел( но в случае, если остаток равен 0, окончательная сумма одинакова 9)

Теперь найдем конечную сумму нашего числа. 3*1+4*5+n*0=3+20=23; 2+3=5. То есть окончательная сумма одинакова 5, чего не может быть, если разыскиваемое число квадрат. Противоречие. Означает числа, удовлетворяющего условиям задания, не существует.