Какое докозательство малой аксиомы Ферма?

Осмотрим два варианта: a делится на p; a не делится на p.

1) a делится на p;

Тогда используя сопоставленья запишем:

a  0 (mod p);

ap  0 (mod p);

Либо ap  a (mod p).

В этом случае аксиома доказана.

2) a не делится на p;

Осмотрим числа a, 2a, 3a,...,(p - 1)a (*).

Покажем, что эти числа дают разные остатки при делении на p. Явно, остаток также не может быть 0.

Докажем от оборотного.

Пусть какие-то два числа ka, na имеют схожие остатки при дроблении на p (пусть kgt; n). Тогда разность ka - na делится на p. Означает (k - n)a делится на p. Но a не делится на p, а разница k - n меньше p и отлична от нуля, потому также не делится на p. Мы пришли к противоречию - наше предположение, что числа (*) могут давать одинаковые остатки при дробленьи на p ошибочно. Запишем это:

a  r1 (mod p);

2a  r2 (mod p);

...

(p - 1)a  rp - 1 (mod p);

Используя характеристики сравнения перемножаем прошлые сопоставленья. Так как всего множителей p - 1, а все остатки при делении на p разные, то справа будет (p - 1)!

ap - 1(p - 1)! (p - 1)! (mod p);

(ap - 1 - 1)(p - 1)! 0 (mod p);

Но (p - 1)! не делится на p, так как p - обычное, а все множители факториала меньше p. Означает (ap - 1 - 1) делится на p.

(ap - 1 - 1) 0 (mod p);

ap - 1  1 (mod p);

ap  a (mod p);

Что и требовалось доказать.