обосновать что дробь вида n/(2n^2+1) преобразуется в чистую повторяющуюся десятичную дробь

Представим что  данная дробь  является конечной ,тогда тк   хоть какое окончательное положительное разумное число  рациональное   число   представимо в виде выражения:
N/10^k   тогда  правильно что:
n/2n^2+1=N/10^k
n*10^k/2n^2 +1=N
число n не    имеет  с числом  2n^2+1 общих  простых делителей.
Вправду  тк   число  2n^2  cодержит  в себе  все обыкновенные  делители   числа n,то   число 2n^2+1  не содержит  всех этих делителей,тк  это число  будет  давать на   все  эти делители  остаток 1,тк 1-это  наименьшее число  из всех обычных  делителей.Число  10^k  содержит  делители  2^m  и 5^p  p,m-естественные   числа  (plt;=k  mlt;=k)
делитель   2^m четный  ,а   число  2n^2+1 всегда нечетно ,то  делитель  2^m у  их быть   общим не  может.Если  у числа  2n^2+1 есть  общий делитель  5^p,то  оно  или заканчивается   на  цифру 0 либо  цифру 5.Проанализируем   все варианты: число n может кончаться  на цифры 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9
тогда  число  2n^2+1  может заканчиваться на числа 1,3,9,9,3,1,3,9,9,3 то есть  это число  не может иметь делитель 5^p.
Таким  образом числитель и знаменатель   дроби   n*10^k/2n^2+1 не  имеют общих   делителей,тогда  эта дробь несократима,а  тк из равенства
 n*10^k/2n^2+1=N то  несократимая   дробь одинакова   естественному числу,а   такое невероятно,то   есть мы пришли к противоречию,значит  эта дробь безгранично  повторяющаяся   при любом n.Сейчас   самое тяжелое.Нужно   обосновать,что эта дробь чисто   повторяющаяся (без примесей)
Хоть какое   чисто периодическое  число  наименьшее 1 (как   и наше   при любом n)
представимо  в   виде: N/(10^k  -1) где  k-длинна  его   периода N cам  этот   период без  нулей  в начале,если  таковые   находятся.(Полагаюсь  понятно)
Положим  сейчас что  наша дробь  смешанная  ,тогда правильно   что
n/2n^2+1=N/10^s +M