Вычислить определенный интеграл (-1;1) х^3cosПx/4dx

Вычислить определенный интеграл (-1;1) х^3cosПx/4dx

Задать свой вопрос
1 ответ
 \int\limits^1_-1 x^3cos( \pi x/4) \, dx
Будем интегрировать по частям:
 \int\limits^a_b f \, dg=fg- \int\limits^a_b g \, df  , где:
f=x^3\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=3x^2dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi
Тогда:
\int\limits^1_-1 x^3cos( \pi x/4) \, dx =4x^3sin( \pi x/4)/ \pi_-1^1-12/\pi \int\limits^1_-1x^2sin( \pi x/4)dx
Для интеграла \int\limits^1_-1x^2sin( \pi x/4)dx используем также метод интегрирования по частям:
 \int\limits^a_b f \, dg=fg- \int\limits^a_b g \, df , где:
f=x^2\\dg=sin( \pi x/4)dx\\df=2xdx\\g=-4cos( \pi x/4)/ \pi
Тогда:
4x^3sin( \pi x/4)/ \pi_-1^1-12/\pi \int\limits^1_-1x^2sin( \pi x/4)dx=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi_-1^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2^1_-1-96/ \pi ^2 \int\limits^1_-1 xcos( \pi x/4) \, dx
Для интеграла \int\limits^1_-1 xcos( \pi x/4) \, dx  используем также способ интегрирования по долям:
 \int\limits^a_b f \, dg=fg- \int\limits^a_b g \, df , где:
f=x\\dg=cos( \pi x/4)dx\\df=dx\\g=4sin( \pi x/4)/ \pi
Тогда:
4x^3sin( \pi x/4)/ \pi_-1^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2^1_-1-96/ \pi ^2 \int\limits^1_-1 xcos( \pi x/4) \, dx=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi_-1^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2^1_-1-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3^1_-1+\\+384/ \pi ^3 \int\limits^1_-1 sin( \pi x/4) \, dx
Для интеграла \int\limits^1_-1 sin( \pi x/4) \, dx воспользуемся подменой переменой: 
u=sin( \pi x/4)\\du= \pi dx /4
Тогда:
4x^3sin( \pi x/4)/ \pi_-1^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2^1_-1-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3^1_-1+384/ \pi ^3 \int\limits^1_-1 sin( \pi x/4) \, dx==4x^3sin( \pi x/4)/ \pi_-1^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2^1_-1-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3^1_-1+1536/ \pi ^4 \int\limits^1_-1 sin(u) \, du==4x^3sin( \pi x/4)/ \pi_-1^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2^1_-1-\\-384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3^1_-1-1536cos(u)/ \pi ^4^\pi/4_-\pi/4=\\=4x^3sin( \pi x/4)/ \pi_-1^1+48x^2cos( \pi x/4)/ \pi ^2^1_-1--384xsin( \pi x/4)/ \pi ^3^1_-1-1536cos(\pi x/4)/ \pi ^4^1_-1=\\=4(\pi x(\pi ^2x^2-96)sin(\pi x/4)+12(\pi ^2x^2-32)cos(\pi x/4))/\pi ^4^1_-1==4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4-\\-4(-\pi (\pi ^2-96)sin(-\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(-\pi /4))/\pi ^4=\\=4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4--4(\pi (\pi ^2-96)sin(\pi /4)+12(\pi ^2-32)cos(\pi /4))/\pi ^4=0
Ответ:
 \int\limits^1_-1 x^3cos( \pi x/4) \, dx =0

, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Последние вопросы

Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт