Исследовать функцию и построить ее график (С объясненьем):y=x/(x^2+5)

ДАНО

Y = x/(x+5)

ИССЛЕДОВАНИЕ

1.Область определения D(x) - непрерывная  Х(-;+).

Вертикальных асимптот - нет.

2. Пересечение с осью Х. Y=0 при х = 0. 

3. Скрещение с осью У.  У(0) = 0. 

4. Поведение на бесконечности.

limY(+) = 0. 

Горизонтальная асимптота - Y = 0..

5. Исследование на чётность.Y(-x) = - Y(x).

Функция нечётная. 

6. Производная функции.

Корни при Х=-5 и  5 (+/- 2,3)

7. Локальные экстремумы. 

Максимум: Ymax(-5)= 5/10  0,23 и минимум  Ymin(2,3)  - 0,23

8. Интервалы монотонности. 

Вырастает- Х(-5;5), убывает - X(-,-5)(5;+).

9. Вторая производная - Y"(x),  

Корни производной - точки перегиба:  х1 = 0, х2= -15, х3= 15  (+/-3,8). 

9. Выпуклая горка Х(-;-15)(0;15), Вогнутая ложка Х(-15;0)(15;+). 

10. Область значений Е(у) У(-5/10;5/10) 

11. Наклонная асимптота. Уравнение: lim()(k*x+b f(x).  

k=lim()Y(x)/x = 1/(5+x) = 0. Совпадает с горизонтальной. 

12.График в приложении.