Найти уравнение и длину высоты пирамиды ABCD, опущенной из верхушки А

Даны координаты вершин пирамиды:
А(0; 1; -1), B(-2; 3; 5), C(1; -5; -9), D(-1 ;-6; 3).

1) Определяем уравнение плоскости BCD:
Уравнение плоскости:
A x + B y + C z + D = 0 .
Для нахождения коэффициентов A, B, C и D нужно решить систему:
A x1 + B y1 + C z1 + D = 0 ,
A x2 + B y2 + C z2 + D = 0 ,
A x3 + B y3 + C z3 + D = 0 .
Решим эту систему, которая в нашем случае запишется последующим образом:
A (-2) + B (3) + C (5) + D = 0 ,
A (1) + B (-5) + C (-9) + D = 0 ,
A (-1) + B (-6) + C (3) + D = 0 .
Решение матричным способом:

(x - (-2))-(8(-2)-(-14)(-9)) - (y - 3)(3(-2)-(-14)1) + (z - 5)(3(-9)-(-8)1) = 0

(-110)(x - (-2)) + (-8)(y - 3) + (-19)(z - 5) = 0

 - 110x - 8y - 19z - 101 = 0. 

Если умножим на -1, то получим уравнение плоскости:

110 x + 8 y + 19 z + 101 = 0 .
Координаты точки А: (0; 1; -1).
Если ровная перпендикулярна плоскости 110x + 8y + 19z + 101 = 0, означает она параллельна нормальному вектору этой плоскости n =110; 8; 19. Итак надo составит уравнение прямой с устремляющим вектором n , проходящей через точку А (0; 1; -1).


2) Расстояние от точки А до плоскости BCD.
Для вычисления расстояния от точки А(0, 1, -1) до плоскости 
110x + 8y + 19z + 101 = 0 используем формулу:

d  = AАx  + BАу  + CАz  + D/(A + B + C).
Подставим в формулу данныеd  = 1100 + 81 + 19(-1) + 101/(110 + 8 + 19) =
    = 0 + 8 - 19+ + 101 / (12100 + 64 + 361) = 
    = 90/12525 = 6501/167  0,80418069. 

3) Угол меж прямой АС и плоскостью BCD.
Уравнение АС: (x-0)/1 = (y-1)/(-6) = (z+1)/(-8).

Обращающий вектор прямой имеет вид:s = 1; -6; -8

Вектор нормали плоскости имеет вид:q = 110; 8; 19

Угол меж прямой и плоскостью:
sin  =  A  l + B  m + C  n  /(A + B + C  l + m + n) =
= 110 1 + 8 (-6) + 19 (-8)  /(110 + 8 + 19  1 + (-6) + (-8)) = 
= 110 - 48 - 152  /((12100 + 64 + 361)(1 + 36 + 64)) = 
= 90 /(12525101) = 90/1265025 = 650601/16867  0,0800189697.
Этому синусу подходит угол 0,0801046 радиан или  4,5896561.