Решите дифф. уравнения:1) y039;039;=6y039;+9y=3x-8e^x2) y039;039;039;+3y039;039;+3y039;+y=0 y(0)=-1. y039;(o)=2.

1. Имеем дело с дифференциальным уравнением второго порядка с правой частью.
Необходимо найти общее решение неоднородного уравнения:
       
                             yо.н. = уо.о. + уч.н.

Где уо.о. - общее решение однородного уравнения, уч.н. - приватное решение.

Найдём общее решение подходящего однородного уравнения.


Перейдем к характеристическому уравнению, осуществив подмену .



Общее решение однородного уравнения: yo.o. = 

Сейчас нужно найти приватное решение неоднородного уравнения. Правую часть исходн. ДУ отметим как за две функции, т.е.  и 

Осмотрим функцию 

Сопоставляя  с корнями характеристического уравнения, и, принимая во внимания, что n=1, приватное решение будем отыскивать в виде.
yч.н. = 

И, вычислив первую и вторую производную: , подставим в начальное уравнение без функции .


Приравниваем коэффициенты при ступени х:


уч.н. = (x/3) - 2/9 

Рассмотрим сейчас функцию 

Подобно сопоставляя  с корнями характеристического уравнения и принимая во внимая, что n=0, приватное решение будем отыскивать в последующем виде:
уч.н. = 

И тогда 1-ая и вторая производная одинаковы соответственно  и 



Тогда уч.н. = -(1/2) * e

И, воспользовавшись аксиомой о суперпозиции, приватное решение неоднородного уравнения: уч.н. = уч.н. + уч.н. = (x/3)- (2/9) - (1/2) * e

Тогда общее решение неоднородного уравнения:

           

Задание 2.
Это ДУ третьего порядка, однородное. Перебегаем к характеристическому уравнению, сделав подмену Эйлера .


Общее решение однородного уравнения: 


Найдем частное решение, подставляя исходные условия.


Приватное решение: