В алфавите племени Тумба-Юмба 7 букв. Мистер Фокс желает выписать их

Чтоб осознать задачку, начнём пробовать с 1 буковкы, с двух букв и т.д.
Пусть алфавит состоит из одной буковкы А. Наибольшая длина требуемой последовательности равна 1, т.е. состоит из 1 буковкы А.
Пусть алфавит состоит из 2-ух букв А и Б. Тогда требуемая последовательность будет состоять из трёх букв: АБА.
Пусть алфавит состоит из трёх букв А, Б и В. Тогда требуемая последовательность будет такая АБАВАБА (7 букв). Т.е. одна буковка в середине, а по краям повторяются последовательности, которые были осмотрены на шаг ранее. И теперь, какую бы последовательность мы не возьмём, одна из букв будет встречаться только один раз.
Вырисовывается некоторая закономерность, поэтому просто составляется последлвательность для алфавита из 4-х букв А, Б, В и Г:
АБАВАБАГАБАВАБА (15 букв).
Можно таким образом продолжить и далее до алфавита из 7 букв, но заметим, что в последовательности, состоящей из длин требуемой строчки, есть закономерность:
1, 3, 7, 15, ... - это не что другое, как , где n - количество букв в алфавите. Значит, для n=7 получим:

Покажем, что это распространяется для хоть какого n способом математической индукции. Первые шаги нами теснее испытаны, потому предполагаем, что формула верна для некоего числа n. Докажем, что это выполянется и при (n+1).
Что мы делали, когда составляли последовательность, добавляя в алфавит ещё одну буковку? Мы брали две предыдущие последовательности и в середину вставляли новую букву.

Что и требовалось обосновать.

Ответ: 127