Отыскать проекцию точки М(8,-2,7) на плоскость 4х-7у+5z+9=0?

Разъясненье :

Для нахождения проекции точки M0 на плоскость Ax+By+Cz+D=0, нужно:

1) выстроить прямую L, проходящую через точку M0 и перпендикулярной плоскости Ax+By+Cz+D=0.

2) отыскать пересечение данной плоскости с прямой L.

Общее уравнение плоскости имеет вид:  Ax+By+Cz+D=0  

где n(A,B,C) именуется обычным вектором плоскости.

Уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и имеющий направляющий вектор q(l, m, n) имеет следующий вид:

x-x0/l = y-y0/m = z-z0/n     (x0 - икс нулевое итд.)

Для того, чтобы ровная (3) была ортогональна плоскости (2), устремляющий вектор q(l, m, n) прямой (3) должен быть коллинеарным нормальному вектору n(A,B,C) плоскости (2). Как следует, в качестве направляющего вектора прямой (3) можно брать обычный вектор плоскости (2). Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку M0(x0, y0, z0) и ортогональный плоскости (2) имеет последующий вид:  x-x0/A = y-y0/B = z-z0/C

РЕШЕНИЕ :

Подставляя координаты точки M0(8, -2, 7) и координаты обычного вектора плоскости n(4, -7, 5) в (3), получим: (X-8)/4 = (Y+2)/-7 = (Z-7)/5

Составим параметрическое уравнение прямой:

t=(X-8)/4, t=(Y+2)/-7 t=(Z-7)/5.

Выразим переменные x, y, z через параметр t :

x= 4t+ 8 , y= 7t 2 , z= 5t+ 7

ИТАК, Мы отыскали уравнение прямой, проходящей через точку M0(8, -2, 7) и ортогональной плоскости (1). Наша задача отыскать таковой параметр t в выражениях (4), при котором точка M(x,y,z) удовлетворяла уравнению плоскости (1).

Подставим значения x,y,z из выражения (4) в (1) и решим

условно t.

4 ( 4 t+ 8 ) 7 ( 7 t 2 )+ 5 ( 5 t+ 7 )+ 9 = 0

16 t+ 49 t+ 25 t+ 32 + 14 + 35 + 9 = 0

t =  1

Подставим значение t в выражения (4): x= 4 , y= 5 , z= 2 .

Ответ:  Проекцией точки M0(8, -2, 7) на плоскость (1) является точка: M1( 4 , 5 , 2 ).