Решите 5-ую задачу. Дам 30 баллов

Ответ:

Пошаговое разъясненье:

Покажем, что расставить числа требуемым образом нельзя.

Допустим, это удалось. Обозначим через X число, стоящее в центральном кружочке.

Все другие числа стоят в кружочках, образующих два пятиугольника.

Поэтому X + 2B = 1 + ......+ 11 = 66, откуда X = 66 2B. Означает, число X обязано быть четным.

Сейчас сложим все суммы чисел, стоящих на выходящих из центра отрезках.

Получится 5A. При этом число X будет сосчитано 5 раз, а все остальные по одному разу.

Потому 5A = 4X + (1 + ........... + 11) = 4X + 66 (*). Означает, число 4X + 66 обязано делиться на 5.

Этому условию посреди чисел от 1 до 11 удовлетворяют только числа 1, 6 и 11, и при этом только число 6 четно.

Как следует, X = 6. Подставляя отысканное значение X в уравнение (*), находим, что A = 18.

Стало быть, на каждом из пяти выходящих из центра отрезков сумма 2-ух чисел, стоящих там вместе с числом X, обязана приравниваться 18 6 = 12.

Выходит, что на одном отрезке обязаны стоять числа 1 и 11, 2 и 10, 3 и 9, 4 и 8, 5 и 7.

Заметим, что три из 5 перечисленных пар состоят из нечетных чисел, а две из четных.

Поэтому в вершинах каждого из 2-ух пятиугольников должны стоять три нечетных и два четных числа.

Это значит, что число B должно быть нечетным.

Но из доказанного выше равенства X = 66 2B при X = 6 получаем B = 30. Противоречие.