Cosx больше либо одинаково -1/корень 2, помогите решить тригонометрическое неравенство и

Пошаговое объяcнение:Задание Решить неравенство

   \[ \sin x\le \frac\sqrt32 \]

Решение  Так как

   \[ \left \frac\sqrt32 \rightlt;1 \]

, то это неравенство имеет решение и его можно решить 2-мя методами.

Первый способ. Решим это неравенство графически. Для этого построим в одной системе координат график синуса y=\sin x и прямой y=\frac\sqrt32 (рис. 2).

Рис. 2

Выделим промежутки, на которых синусоида размещена ниже графика прямой y=\frac\sqrt32. Найдем абсциссы x_1 и x_2 точек скрещения этих графиков:

   \[x_1=\pi -\arcsin \frac\sqrt32=\pi -\frac\pi 3=\frac2\pi 3 \]

   \[x_2=\arcsin \frac\sqrt32+2\pi =\frac\pi 3+2\pi =\frac7\pi 3\]

Получили интервал \left[ -\frac4\pi 3;\ \frac\pi 3 \right], но так как функцию y=\sin x повторяющаяся и имеет период 2\pi, то ответом будет объединение интервалов: \left[ \frac2\pi 3+2\pi k;\ \frac7\pi 3+2\pi k \right],\quad k\in Z.

2-ой способ. Построим единичную окружность и прямую y=\frac\sqrt32, точки их пересечения обозначим P_x_1 и P_x_2 (рис. 3). Решением начального неравенства будет множество точек ординаты, которых меньше \frac\sqrt32. Найдем значение x_1 и x_2, совершая обход против часовой стрелки, x_1lt;x_2:

Рис. 3

   \[x_1=\pi -\arcsin \frac\sqrt32=\pi -\frac\pi 3=\frac2\pi 3 \]

   \[x_2=\arcsin \frac\sqrt32+2\pi =\frac\pi 3+2\pi =\frac7\pi 3\]

Беря во внимание периодичность функции синус, конечно получим интервалы \left[ \frac2\pi 3+2\pi k;\ \frac7\pi 3+2\pi \right],\quad k\in Z.

Ответ  x\in \left[ \frac2\pi 3+2\pi k;\ \frac7\pi 3+2\pi \right],\quad k\in Z

ПРИМЕР 2

Задание  Решить неравенство \sin xgt;2

Решение  Синус функция ограниченная: \left \sin x \right\le 1, а правая часть данного неравенства больше единицы, потому решений нет.

Ответ  решений нет.