один катет равен 12 мм,его проекция на гипотенузу одинакова 6 мм.

Прямоугольный треугольник АВС (угол А прямой)
АВ=12 мм
проведём вышину АК из вершины А на гипотенузу ВС,
ВК=6 мм и есть проекция катета АВ на гипотенузу ВС
       В прямоугольном треугольнике АВК катет ВК=6 равен половине гипотенузы АВ=12  ВК=1/2 * АВ. А это означает, что катет ВК лежит против угла ВАК в 30. Угол В равен 180-(90+30)=60
   В прямоугольном треугольнике АВС угол С равен 180-(90+60)=30.
Катет АВ, лежащий против угла в 30 равен половине гипотенузы ВС:
ВС=1/2АВ 1/2 * 12=24 мм
    Проекция катета АС на гипотенузу ВС (КС) одинакова:
КС=ВС-ВК   КС=24-6=18 мм
Катет АС найдём из треугольника АВС по аксиоме Пифагора:
АС=ВС-АВ
АС=24-12=432
АС=432=123 мм
ответ: 123; 18;  24