Отыскать приватное решение дифференциального уравнения

Отыскать приватное решение дифференциального уравнения

Задать свой вопрос
Дарина Верташ
НУЖНА ПОМОЩЬ(
1 ответ
1-ый раз сталкиваюсь с таким заданием, но оно не особо сложное:
Для решения данного дифференциального уравнения потребуется такая вещь, как интегрирующий множитель .

(1-2xy)\fracdydx=y(y-1)*dx\\(1-2xy)dy=(y(y-1))dx\\(y(y-1))dx+(2xy-1)dy=0\\\frac\delta P\delta y=2y-1\\\frac\delta Q\delta x=2y

Как лицезреем, на полный дифференциал не тянет, вот тут нам и поможет множитель, только его надобно сначала найти.Сущность множителя в том, что при умножении на него каждой из долей дифференциал будет полным, и соответственно решать его будем как полный.

\frac(\frac\delta Q\delta x-\frac\delta P\delta y)P=\frac2y-2y+1y(y-1)=\frac1y(y-1)\\\fracd\mudy\mu=\frac1y(y-1)\\\fracd\mu\mu=\fracdyy(y-1)\\ln\mu=-lny+lny-1\\ln\mu=ln\fracy-1y\\\mu=\fracy-1y

Умножаем на каждое из слагаемых и получаем:

\fracy-1y(y(y-1))dx+\fracy-1y(2xy-1)dy=0\\(y-1)^2dx+(2x(y-1)+\frac1-yy)dy=0\\\frac\delta P'\delta y=2amp;10;(y-1)\\\frac\delta Q'\delta x=2(y-1)

Та-дам, вот и дифференциал полный, решаем его.

\begincases\frac\delta F\delta x=(y-1)^2\\\frac\delta F\delta y=(2x(y-1)+\frac1-yy)\endcases\\F=\int(y-1)^2dx=x(y-1)^2+\phi(y)\\\frac\delta F\delta y=x(2(y-1))+\phi'(y)\\x(2(y-1))+\phi'(y)=2x(y-1)+\frac1-yy\\\phi'(y)=\frac1-yy\\\phi(y)=\int\frac1-yydy=lny-y+C\\F=x(y-1)^2+lny-y+C=0\\x(y-1)^2+lny-y=C

Проверка:

(x(y-1)^2+lny-y)'=C'\\(y-1)^2+(2x(y-1))y'+\fracy'y-y'=0\\(y-1)^2+(2x(y-1)+\frac1y-1)y'=0\\(y-1)^2+(2x(y-1)+\frac1-yy)y'=0

Получен изначальный дифференциал, числится ответ верный, подставляем начальные условия

0(1-1)^2+ln1-1=C\\C=-1\\OTBET:x(y-1)^2+lny-y=-1
, оставишь ответ?
Имя:*
E-Mail:


Добро пожаловать!

Для того чтобы стать полноценным пользователем нашего портала, вам необходимо пройти регистрацию.
Зарегистрироваться
Создайте собственную учетную запить!

Пройти регистрацию
Авторизоваться
Уже зарегистрированны? А ну-ка живо авторизуйтесь!

Войти на сайт