Отыскать общее решение неоднородного Хвалу с неизменными коэффициентами второго порядка способом
Отыскать общее решение неоднородного ОДУ с неизменными коэффициентами второго порядка способом разновидности произвольной постоянной
Задать свой вопрос1 ответ
Коля Дягилев
Неоднородное уравнение 2 порядка
Сначала решаем однородное
y'' - 2y' + y = 0
Характеристическое уравнение
k^2 - 2k + 1 = (k - 1)^2 = 0
k1 = k2 = 1
Общее решение однородного уравнения
y = (C1+C2*x)*e^x = C1*e^x + C2*x*e^x
Сейчас находим частное решение неоднородного уравнения методом вариации случайных постоянных.
y0 = C1(x)*e^x + C2(x)*x*e^x = C1(x)*y1 + C2(x)*y2
Обозначим C1 и C2 как функции C1(x) и C2(x). Решаем систему
C1'(x)*y1 + C2'(x)*y2 = 0
C1'(x)*(y1)' + C2'(x)*(y2)' = e^x/x
В нашем случае
(y1)' = (e^x)' = e^x; (y2)' = (x*e^x)' = e^x + x*e^x = e^x*(x+1)
C1'(x)*e^x + C2'(x)*e^x*x = 0
C1'(x)*e^x + C2'(x)*e^x*(x+1) = e^x/x
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
C1'(x) = -C2'(x)*e^x*x/e^x = -C2'(x)*x
-C2'(x)*x*e^x + C2'(x)*e^x*(x+1) = e^x/x
C2'(x)*(-x*e^x + x*e^x + e^x) = e^x/x
C2'(x)*e^x = e^x/x
C2'(x) = 1/x; C2(x) = ln x
C1'(x) = -C2'(x)*x = -1/x*x = -1; C1(x) = -x
Подставляем в уравнение
y = (C1+C2*x)*e^x = (-x + x*ln x)*e^x
Сначала решаем однородное
y'' - 2y' + y = 0
Характеристическое уравнение
k^2 - 2k + 1 = (k - 1)^2 = 0
k1 = k2 = 1
Общее решение однородного уравнения
y = (C1+C2*x)*e^x = C1*e^x + C2*x*e^x
Сейчас находим частное решение неоднородного уравнения методом вариации случайных постоянных.
y0 = C1(x)*e^x + C2(x)*x*e^x = C1(x)*y1 + C2(x)*y2
Обозначим C1 и C2 как функции C1(x) и C2(x). Решаем систему
C1'(x)*y1 + C2'(x)*y2 = 0
C1'(x)*(y1)' + C2'(x)*(y2)' = e^x/x
В нашем случае
(y1)' = (e^x)' = e^x; (y2)' = (x*e^x)' = e^x + x*e^x = e^x*(x+1)
C1'(x)*e^x + C2'(x)*e^x*x = 0
C1'(x)*e^x + C2'(x)*e^x*(x+1) = e^x/x
Подставляем 1 уравнение во 2 уравнение
C1'(x) = -C2'(x)*e^x*x/e^x = -C2'(x)*x
-C2'(x)*x*e^x + C2'(x)*e^x*(x+1) = e^x/x
C2'(x)*(-x*e^x + x*e^x + e^x) = e^x/x
C2'(x)*e^x = e^x/x
C2'(x) = 1/x; C2(x) = ln x
C1'(x) = -C2'(x)*x = -1/x*x = -1; C1(x) = -x
Подставляем в уравнение
y = (C1+C2*x)*e^x = (-x + x*ln x)*e^x
, оставишь ответ?
Похожие вопросы
-
Вопросы ответы
Новое
NEW
Статьи
Информатика
Статьи
Последние вопросы
найти порядковый номер 41Э если в ядре 20 нейтронов
Разные вопросы.
в ряду натуральных чисел 3, 8, 10, 24, … 18 одно
Математика.
Предприятие по производству с/хоз продукции на производство затратило 3527000 руб Валовый
Разные вопросы.
Математика, задано на каникулы. ВАРИАНТ 1004
НОМЕР 1,2,3,4,5,6,7,8.
Математика.
Имеются три конденсатора емкостью С1=1мкФ, С2=2мкФ и С3=3мкФ. Какую наименьшую емкость
Физика.
Из точки м выходят 3 луча MP MN и MK причём
Геометрия.
выпиши в свою тетрадь те правила этикета которые тебе не были
Разные вопросы.
Анна хорошо учится у неё много подруг свободное от учёбы время
Обществознание.
10) Килограмм конфет дороже килограмма печенья на 52 р. За 8
Математика.
Во сколько раз число атомов кислорода в земной коре больше числа
Химия.
Облако тегов