22 футболиста сыграли три тренировочных игры (разбиваясь каждый раз на два

Попытаемся опровергнуть утверждение и выстроить контр пример. Переберем варианты конфигураций составов команд от забавы к забаве.
1. Вообщем не менять составы - явно, что в таком случае все игроки обеих команд будут неизменными соперниками.
2. Если поменять по одному, два, три либо четыре игрока, то можно будет увидеть, что этого недостаточно чтоб перетосовать полностью составы на каждую из 3х игр.

 1,2,3....11 игроки  - 1я команда
12,13,14.... 22 игроки - 2я команда
1-ая забава

1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,12  - 1я команда
11,13,14.... 22 игроки - 2я команда
2-ая забава. 

и теснее к третьей забаве наберется ряд игроков, являющихся осперниками 3й раз. 

Также пройдет комбинирование, если поменять по 2,3 либо 4 игрока.

Единственная возможность попробовать провести композиции всех игроков, это поделить первые варианты составов в каждой команде пополам и собрать из "половинок" команд разные сочетания.

К примеру буковкой А назовем первую половину первой команды
Буковкой Б назовем вторую половину первой команды
В - первая половина второй команды
Г - 2-ая половина 2-ой команды.

1-ый матч: АБ против ВГ
2-ой матч: АВ против БГ
3-ий матч: АГ против БВ

У нас бы вышел такой вариант сочетаний игроков, если бы не один нюанс - в команде 11 игроков и ровно пополам их поделить невероятно! В одну часть попадет 6 игроков, а в иную 5. 
Для определенности договоримся, что в Доли А и Г попали 6 человек, а в Части Б и В по 5 человек. 

Тогда, в 3-ем матче мы получаем ситуацию при которой в команде АГ 12 человек и ВСЕ они ранее были между собой конкурентами, а в команде БВ 10 человек. 
Выходит что из команды АГ мы обязаны перевести 1-го игрока в команду БВ и он в 3-ий раз окажется конкурентом обратной "половинке" (если мы переведем игрока из Г, то он будет 3-ий матч играть против футболистов из А и напротив).