В равнобедренном треугольнике ABC AB=BC=13 AC=10 отыскать расстояние от верхушки B

Высоту BH найдём из прямоугольного треугольника BHC, где HC = 5 (1/2 AC), а BC по условию = 13.
BH^2 = BC^2 - HC^2
BH^2 = 169 - 25 = 144
BH = 12 (высота)
Медиана = вышина = биссектриса (опущена на основание РБ треугольника), означает BM = 1/2BH = 6

Так как  треугольник  равнобедренный, то вышина h к основанию является сразу и медианой, и биссектрисой.
Поэтому все заданные точки лежат на этой высоте h.

а) точка M пересечения медиан.
Высота h равна (11-(14/2)) = 121 - 49) = 72 = 62.
Точка M скрещения медиан находится на расстоянии (2/3)h от верхушки В: ВМ = (2/3)*62 = 42   5,65685.

б) точка О1 скрещения биссектрис.
Тангенс угла А равен: tg A = 62/7.
Тангенс половинного угла равен:
tg(A/2) = tgA/(1+(1+tgA)) = (62/7)/(1+(1+(72/49))) = 2/3.
Разыскиваемое расстояние ВО1 = 62-(7*(2/3)) = 112/3   5,18545.

в) точка О скрещения серединных перпендикуляров сторон.
Это расстояние равно:
ВО = 5,5/cos (B/2) = 5,5/(62/11) = 60,5/(62) = 121/(122)   7,129993.

г) точка H скрещения высот.
ВН обретаем  из подобия взаимно перпендикулярных треугольников АНД и ВДС: ВН = 62-(7*(7/62)) = 23/(62)  2,710576.
(точка Д - середина основания АС).