В коробку положили несколько комплектов пуговиц ( не более 10) ,

Комплекты по 10 пуговиц, и этих комплектов не больше 10.
Значит, число пуговиц может быть 10,20,30,...,100.
Возможные варианты:
1) при дробленьи на 9 остаток 1, а при дробленьи на 6 остаток 4.
N=10=9+1=6+4 - 1 набор.
N=100=99+1=96+4 - 10 комплектов.
2) при делении на 9 остаток 2, а при разделеньи на 6 остаток 5.
У круглых чисел только одно делится на 9 с остатком 2: 20.
Но при делении на 6 остаток тоже 2, потому не подходит.
Значит, в этом случае вариантов нет.
Ответ: или 10 или 100 пуговиц положили в коробку.