Исследование функций с подмогою производной Помогите пожалуйста исседовать y=-3x+x^3

Дана функция y = x - 3x.
1. Область определения функции: x  (-; ).

 2. Точки пересечения с осью координат X.

График функции пересекает ось X при f = 0, означает надобно решить уравнение: x - 3x = 0.

 x(x - 3) = 0. Получаем 3 корня 

x = 0, х = 3,  х = -3.

3. Точки скрещения с осью координат Y.

График пересекает ось Y, когда x приравнивается 0:

подставляем x = 0 в x - 3x.

   0 - 3*0 = 0.

Итог:

f(0) = 0.

Точка:

(0, 0).

4. Экстремумы функции.

Для того, чтоб найти экстремумы, нужно решить уравнение

d          

--(f(x)) = 0

dx         

(производная одинакова нулю), и корешки этого уравнения будут экстремумами данной функции:

d         

--(f(x)) = 3x - 3.

dx        

         

3x - 3  = 0

Решаем это уравнение: 3(х - 1) = 0,

Корешки этого уравнения x = 1 и х = -1.

Означает, экстремумы в точках:

(-1, 2)

(1, -2)

5. Интервалы возрастания и убывания функции:

Найдём интервалы, где функция подрастает и убывает, а также минимумы и максимумы функции, для этого глядим как водит себя функция в экстремумах при мельчайшем отклонении от экстремума:

х =   -2    -1     0     1     2
y' =   9     0    -3     0     9

Минимумы функции в точках: x_2 = 1.
Максимумы функции в точках: x_2 = -1.
Убывает на интервалах (-oo, -1] U [1, oo)

Вырастает на промежутках [-1, 1]

6. Точки перегибов

Найдем точки перегибов, для этого надобно решить уравнение

  2         

 d          

---(f(x)) = 0

  2         

dx          

(вторая производная равняется нулю), корни приобретенного уравнения будут точками перегибов для обозначенного графика функции,

  2        

 d         

---(f(x)) =

  2        

dx          

6х = 0.

Решаем это уравнение.

Корешки этого уравнения x1 = 0.

7. Интервалы неровности и вогнутости:
Найдём интервалы, где функция выпуклая либо вогнутая, для этого посмотрим, как ведет себя функция в точках перегибов:
Вогнутая на промежутках [0, oo)
Выпуклая на интервалах (-oo, 0]

8. Горизонтальные асимптоты

Горизонтальные асимптоты найдём с поддержкою пределов данной функции при x-gt;+oo и x-gt;-oo
\lim_x \to -\infty\left(x^3 - 3 x\right) = -.
Значит, горизонтальной асимптоты слева не существует
\lim_x \to \infty\left(x^3 - 3 x\right) = .
Значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.

9. Наклонные асимптоты

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x, делённой на x при x-gt;+oo и x -gt;-oo
\lim_x \to -\infty\left(\frac1x \left(x^3 - 3 x\right)\right) =
Означает, наклонной асимптоты слева не существует.
\lim_x \to \infty\left(\frac1x \left(x^3 - 3 x\right)\right) = .
Означает, наклонной асимптоты справа не существует.

10. Чётность и нечётность функции

Проверим функци чётна либо нечётна с помощью соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
x^3 - 3 x = - x^3 + 3 x.
- Нет
x^3 - 3 x = - -1 x^3 - 3 x.
- Нет.
Означает, функция не является ни чётной, ни нечётной.

11. График дан в прибавленьи.