Существует ли четыре различных естественных числа такие, что их сумма является

Число и сумма естественных делителей натурального числа
Основная аксиома математики. Всякое естественное число п gt; 1 либо просто, или может быть представлено, и притом единственным образом - с точностью до порядка следования сомножителей, в виде творенья обычных чисел (можно считать, что хоть какое натуральное число, большее 1, можно представить в виде творения простых чисел, если считать , что это творенье может содержать всего только один множитель).
Посреди обычных сомножителей, присутствующих в разложении n = p1*p2*...*pk, могут быть и однообразные. К примеру, 24=2*2*2*3. Их можно объединить, воспользовавшись операцией возведения в ступень. Кроме того, простые сомножители можно упорядочить по величине. В итоге выходит разложение 
n = p_1^(alpha_1)*p_2^(alpha_2)*.......*p_k^(alpha_k), где alpha_1, alpha_2, ......, alpha_k in NN 
 (1)
Такое представление числа называется каноническим разложением его на простые сомножители. К примеру, каноническое представление числа 2 520 имеет вид 2 520 = 23  З2  5 7.
Из канонического разложения числа легко можно вывести последующую лемму: Если n имеет вид (1), то , то все делители этого числа имеют вид: 
d = p_1^(beta_1)*p_2^(beta_2)*......*p_k^(beta^k), где 0 lt;= beta_m lt;= alpha_m ( m = 1,2,..., k)
 (2)
В самом деле, явно, что всякое d вида (2) разделяет а. Обратно, пусть d разделяет а, тогда a=cd, где с некоторое естественное число и, как следует, все простые делители числа d входят в каноническое разложение числа а с показателями, не превосходящими соответствующих характеристик числа а. 
Осмотрим две функции, данные на множестве натуральных чисел:
а) (n) - число всех натуральных делителей n; 
2) (n) сумма всех естественных делителей числа n.
Пусть n имеет каноническое разложение (1). Выведем формулы для числа и суммы его его натуральных делителей.
Аксиома 1. Число естественных делителей числа n 
tau(n) = (alpha_1 + 1)*(alpha_2 + 1)*.....*(alpha_k + 1);
 (3)
Доказательство. 
читать далее
Пример. Число 2 520 = 23  З2  5 7. имеет (3+1)(2+1)(1+1)(1+1) = 48 делителей.
Аксиома 2. Пусть n имеет каноническое разложение (1). Тогда сумма естественных делителей числа n одинакова
sigma(n) = (1 + p_1 + p_1^2 + ..... + p_1^(alpha_1))*(1 + p_2 + p_2^2 + ..... + p_2^(alpha_2))* ..............* (1 + p_k + p_k^2 + .....+ p_k^(alpha_k));
 (4)
Подтверждение.
читать далее
Пример. Отыскать сумму всех делителей числа 90.
90=2 З2  5. Тогда (90)=[(22-1)/(2-1)] [З3-1)/(3-1)] [(52-1)/(5-1)]=234
Формула (4) может посодействовать отыскать все делители числа.Так, к примеру, чтоб найти все делители числа 90, раскроем скобки в последующем произведении (не производя операцию сложения): (1+2)(1+3+З2)(1+5)=(1+1*3+1*З2+1*2+2*3+2*З2)(1+5) = 1+3+З2+2+2*3+2*З2+ 5+3*5+З2*5+2*5+2*3*5+2*З2*5 = 1+3+9+2+6+18+5+15+45+10+30+90 - слагаемыми являются делители числа 90.
Решим несколько задач на тему "Число и сумма естественных делителей естественного числа"
Задание 1. Найдите естественное число, зная, что оно имеет только два обычных делителя, что число всех делителей одинаково 6, а сумма всех делителей 28. 
Решение
Задания из сборника TTZ - ЕГЭ 2010. Математика. Типовые тестовые задания 
Задание 2. TTZ.С6.2 Найдите все естественные числа, которые делятся на 42 и имеют ровно 42 различных естественных делителя (включая единицу и само число).
Решение
Задание 3. TTZ.С6.9 Найдите все естественные числа, заключительная десятичная цифра которых 0 и которые имеют ровно 15 различных естественных делителей(включая единицу и само число). 
Решение
Задание 4. SPI.С6.9. У натурального числа n ровно 6 делителей. Сумма этих делителей равна 3500. Отыскать n.
Решение VEk:
Решение

Задания для самостоятельной работы
SR1. Отыскать все числа, имеющие ровно 2 обычных делителя, всего 8 делителей, сумма которых одинакова 60.
SR2. Отыскать естественные числа, которые делятся на 3 и на 4 и имеют ровно 21 натуральный делитель.
SR3. Найти меньшее естественное число, имеющее ровно 18 натуральных делителей.
SR4. Отыскать меньшее число, кратное 5, имеющее 18 естественных делителей.
SR5. Некое естественное число имеет два обычных делителя. Его квадрат имеет всего 15 делителей. Сколько делителей имеет куб этого числа? 
SR6. Некое натуральное число имеет два обычных делителя. Его квадрат имеет всего 81 делитель. Сколько делителей имеет куб этого числа? 
SR7. Отыскать число вида m = 2x3y5z, зная, что половина его имеет на 30 делителей меньше, третья часть на 35 и пятая часть на 42 делителя меньше, чем само число.