Число 8 представили в виде суммы трёх положительных слагаемых так, что

Пусть х - 1-ое число, тогда 2х - 2-ое и (8-х-2х) =(8-3х) -третье число
составим функцию  суммы кубов первого и второго слагаемого с третьим слагаемым умноженным на 9.
у(х) = х +(2х) + 9(8-3х)
у(х) = 9х-27х +72
найдем производную
у'(х) = (9х-27х +72)' = 27х-27
у'(x) =0  27x-27=0  27(x-1)=0 x =0  x= 1  и x= -1( не подходит)
        -         +
______1______     у'(1) - точка минимума

значит при х=1   у(х) - воспринимает наименьшее значение
у(х) = 9*1-27*1 +72 = 54 - меньшее значение суммы кубов первого и второго слагаемого с третьим слагаемым умноженным на 9

Пусть х- 1-ое число, у- 2-ое, z- третье
По условию первое относится ко второму как 1:2, т. е. х: у=1:2 или у=2х
По условию сумма трёх положительных слагаемых одинакова 8, т. е
z=8-х-у=18-х-2х=8-3х
По условию сумма куба первого и квадратов второго и третьего равная
х+у+9z=х+(2х)+9(8-3х) =х+8х+72-27х = 9х+72-27х воспринимает меньшее значение.
Найдем производную, для нахождения меньшего значения
f'(х) =( 9х-27х+72)'= (9х)'-(27х)'+ (72)'=3*9х- 27*1 +0= 27х -27
27х-27=0
27(х-1)=0
х-1=0
(х-1)(x+1)=0
x-1=0    x+1=0
х1 =1 
х2= -1 ( не разглядываем, т. к. по условию суммы трёх положительных слагаемых) , т. к. имея корни уравнения, запишем в виде творенья множителей для простоты вычислений (x-1)(x+1)
_____-1____-____1_____+_____Х

f'(0)= (0-1)(0+1)= -1lt;0  
f'(2)= (2-1)(2+1)=3gt;0
Т. к. производная функции меняет в точке х=1 символ с на+ это точка минимума, функция в ней воспринимает малое значение, что и требовалось найти
Отсюда х=1, тогда у=2х=2*1=2, z=8-3х=8-3*1=5 
Ответ: 8 можно представить в виде суммы трёх положительных слагаемых 1;2 и 5, что 1-ое относится ко второму как 1:2