Ваня поочередно разделил загаданое им естественное число на 4, на 6

N = 4k + a1 = 6m + a2 = 8n + a3
a1 + a2 + a3 = 15
Беря во внимание, что а1, а2, а3 - это остатки, получаем такие ограничения:
a1 lt; 4; a2 lt; 6; a3 lt; 8.
Наибольшие остатки a1 = 3, a2 = 5, a3 = 7 как раз дают сумму 15. 
N = 4k + 3 = 6m + 5 = 8n + 7.
Надо увидеть, что если при разделении на 8 число дает остаток 7, то при разделении на 4 оно всегда будет давать остаток 3.
Если к этому числу N прибавить 1, то оно делится на 4, 6 и 8.
Это числа N+1 = 24, 48, 72, 96, ... Тогда N = 23, 47, 71, 95, ...
При дроблении на 12 они все дают остаток 11