После строительства дома осталось некое количество плиток. Их можно использовать для

Поскольку при выкладывании по 8 и по 9 плиток в ряд прямоугольников не выходит, а остаются неполные ряды, то количество плиток делится на 8 и на 9 с остатками.

Остаток от разделенья хоть какого числа на 8 не может быть больше 7. По условию это число на 6 больше, чем остаток от деления на 9. Но остаток от дробления на 9 тоже не равен нулю. Означает, остаток от разделения на 8 может быть равен только 7. А остаток от деления на 9 равен 1.

Общее количество плиток меньше 100, иначе их хватило бы на квадратную площадку со стороной в 10 плиток. Посреди чисел меньше 100 надо найти такое, которое делится на 8 с остатком 7 и на 9 с остатком 1. Проверив все числа в пределах 100, делящиеся на 9 с остатком 1, получим ответ: 55 плиток.