В наборе были гири массой 5, 24 и 43 грамма, поровну

Представим, что потеряно не более 10 гирек. Тогда при возвращении на место этого количества получится вес, кратный 5+24+43=72. Числа вида 6060...60 при разделении на 72 могут давать в остатке 60, 12 либо 36, что проверяется непосредственно. Здесь будет период 3, так как числа 60606060 и 60 сравнимы по модулю 72 -- их разность делится и на 8, и на 9.

Таким образом, добавленный вес обязан иметь вид 12+72k, 36+72k либо 60+72k. Остаток от деления на 24 тут всюду равен 12. Осталось показать, что при поддержки 10 либо менее гирек из комплекта таковой вес не набирается. Чтоб не перебирать много вариантов, заменим числа 5, 24, 43 на 5, 0, -5 по модулю 12. Если x, y, z -- число потерянных гирек каждого из видов, то 5(x-z) кратно 12, а поэтому и x-z. Означает, x=z, так как x+y+zlt;=10. Сейчас рассмотрим всё по модулю 24, заменяя наши числа на те же: 5, 0, -5. Ввиду x=z, окажется, что суммарный потерянный вес делится на 24. Это приводит к противоречию.

Заметим, что 11 гирек также не могло быть потеряно, а пример с 12 потерянными просто строится (было по 85 гирек каждого веса, а позже 12 гирек весом 5 г утратили)