найдите все обыкновенные p и естественные n,удовлетворящие равенству р+n=3pn+1.П помогите

P(3n-p)=(n-1)(n+1)

При n=1 сходу имеем p=3. Пусть n gt; 1. Из чисел n-1, n+1 желая бы одно делится на p. Осматриваем два варианта.

1) n-1=pk, k натуральное. Подстановка в уравнение и сокращение на p дают 3pk-p+1=k(pk+2), откуда p(k^2-3k+1)=3-2k.

2) n+1=pk, и здесь будет 3pk-p-3=(pk-2)k, то есть p(k^2-3k+1)=2k-3.

Просто созидать, что (k^2-3k+1)-(3-2k)=k^2-k-2=(k+1)(k-2) gt; 0 при kgt;=3. Случаи k=1, k=2 в пт 1) разбираем отдельно, и они не подходят.

Далее, (k^2-3k+1)-(2k-3)=k^2-5k+4=(k-1)(k-4) gt; 0 при kgt;=5. В пт 2) глядим случаи 1lt;=klt;=4. 1-ый и заключительный дают p=1, и это не подходит. Также не подходит k=2, где p отрицательно, а при k=3 выходит p=3, то есть n=8. Это ещё одно решение, а всего их у уравнения два.

Тут есть связь с числами Фибоначчи, но мы её не дотрагивались.