володя расставил несколько (вероятно 0) шахматных фигур на доску 88.Леня увидел

Разобьем дощечку двумя методами (на квадраты 2x2 и на прямоугольники 1x3 (3x1) + 1 клеточка), как показано на рисунке.
Пусть в каждом квадрате 2x2 ровно n фигур, а в каждом прямоугольнике 1x3 (3x1) ровно m фигур.
Тогда при первом разбиении выходит (8 * 8) / (2 * 2) * n = 16n фигур, а на втором (8 * 8 - 1) / 3 * m = 21m или 21m + 1 фигур (+1 за счет одной клеточки, не попавшей ни в один из прямоугольников из 3 клеток).
Переберем все возможные значения m (0, 1, 2 и 3) и подберем для их все вероятные значения n.

m = 0:
16n = 0 либо 16n = 1. Получаем n=0, а означает ни одной фигуры не выставлено.

m=1:
16n=21 или 16n=22. Такового быть не могло (ни 21, ни 22 не делятся на 16)

m=2:
16n=42 либо 16n=43. Такого быть также не могло (ни 42, ни 43 не делятся на 16)

m=3:
16n=63 или 16n=64, откуда n=4 и вся дощечка заставлена фигурами (их 64).
Больше вариантов нет.

И 0, и 64, явно, подходят (во всех клеточках однообразное количество фигур, а означает в всех соединеньях клеток, содержащих одинаковое число клеток, содержится однообразное количество фигур).

Ответ: 0 либо 64