На доске написаны числа 1, 2, 3, , 2012, 2013. Разрешается

Ответ: 1.

Покажем, что в результате не мог получиться 0. Для этого докажем, что в итоге на дощечке остается нечетное число.

Заметим, что четность количества нечетных чисел, которые записаны на дощечке, не меняется. Вправду, если мы заменяем четное и нечетное числа, то в итоге будет на дощечке записано нечетное число (т.к. разность четного и нечетного числа нечетна). Т.е. количество нечетных чисел не изменяется. Если же сменяем числа одной четности, то в итоге на дощечке будет записано четное число (т.к. разность четного и четного четно, а также разность нечетного и нечетного четно). Т.е. количество нечетных чисел или не поменяется, или уменьшится на 2. 

Вначале число нечетных чисел одинаково 2013+12=1007, т.е. нечетно, а значит и в конце оно будет нечетно.

Стратегия. Докажем, что мы можем получить число 1. Для этого покажем, что если мы возьмем четыре поочередных числа (a, a+1, a+2, a+3), то мы можем из их сделать 0.

Первая операция: (a+1)a=1. 2-ая операция: (a+3)(a+2)=1. 3-я операция: 11=0.

Теперь мы разобьем числа на четверки и создадим из каждой четверки 0 (1 мы отложим): 2,3,4,5, , 2010,2011,2012,2013. После этого из приобретенных 0 с подмогою нашей операции мы получим один 0. 

После этого найдем модуль разности 1 и 0 и получим 1.