1. Изучить функцию y=f(x) 2.Выстроить график функции y=f(x)y=x^3-3x^2+2x+1

1.Область определения функции:  х  R.

2. Нули функции. Точки пересечения графика функции с осью ОХ.

График функции пересекает ось X при f = 0
означает надобно решить уравнение:
2 x + x^3 - 3 x^2 + 1 = 0.
Решение этого кубического уравнения даёт один действительный корень х = -0,32472.

3. Промежутки знакопостоянства функции: 

y lt; 0, x  (-; -0,32472),

y gt; 0, x  (-0.32472; +).

4. Симметрия графика (чётность либо нечётность функции).

Проверим функци чётна или нечётна с поддержкою соотношений f = f(-x) и f = -f(-x).
Итак, проверяем:
2 x + x^3 - 3 x^2 + 1 = - x^3 - 3 x^2 - 2 x + 1.  - Нет
2 x + x^3 - 3 x^2 + 1 = - -1 x^3 - - 3 x^2 - - 2 x - 1.   - Нет
означает, функция не является ни чётной, ни нечётной.

5. Периодичность графика - нет периодичности.

6.Точки разрыва, поведение функции в окрестностях точек разрыва, вертикальные асимптоты.

Так как функция не содержит дробей и корней, то точек разрыва нет.

7. Интервалы монотонности функции, точки экстремумов, значения функции в точках экстремумов.

Производная функции y' = 3x -6x + 2.

Корешки уравнения 3x -6x + 2 = 0 одинаковы 1 +- (3/3).

Максимум функции равен 1 + (2/(33)) при х = 1 - (3/3),

минимум равен 1 - (2/(33)) при х = 1 + (3/3).

8. Интервалы неровности, точки перегиба.

2-ая производная одинакова: y'' =  6х - 6 = 6(x - 1).

Потому точка перегиба одна: х = 1, у = 1.

9. Поведение функции в бесконечности. Наклонные (в частности, горизонтальные) асимптоты.

Наклонную асимптоту можно найти, подсчитав предел функции x^3 - 3*x^2 + 2*x + 1, делённой на x при x-gt;+oo и x -gt;-oo
\lim_x \to -\infty\left(\frac1x \left(2 x + x^3 - 3 x^2 + 1\right)\right) = \infty.
Предел равен , означает, наклонной асимптоты слева не существует.
\lim_x \to \infty\left(\frac1x \left(2 x + x^3 - 3 x^2 + 1\right)\right) = \infty.
Предел равен , означает, наклонной асимптоты справа не существует.

Горизонтальные асимптоты найдём с подмогою пределов данной функции при x-gt;+oo и x-gt;-oo

\lim_x \to -\infty\left(2 x + x^3 - 3 x^2 + 1\right) = -\infty.
Предел равен -.
Значит, горизонтальной асимптоты слева не существует.
\lim_x \to \infty\left(2 x + x^3 - 3 x^2 + 1\right) = \infty.
Предел равен , значит, горизонтальной асимптоты справа не существует.

10. Дополнительные точки, дозволяющие более точно построить график.

Таблица точек:

x y-2.0  -23  -1.5 -12.1 -1.0 -5 -0.5 -0.9 0 1 0.5 1.4 1.0 1 1.5 0.6 2.0 1 2.5 2.9  3.0 7 3.5 14.1 4.0 25

11. Построение графика функции по проведенному исследованию - дан в приложении.