При хоть какой раздаче 200 орехов присутствующим бельчатам найдутся хотя бы двое

На 1-ый взор, меньшее количество бельчат - двое. Им достанется по 100 орехов каждому. Однако в условии есть обмолвка, что раздача орехов м.б. хоть какой. И одному может достаться 199 орехов, а иному - 1 орешек. Наша задачка состоит в нахождении такого числа бельчат, что как бы мы не раздавали орешки, всё одинаково находилось бы двое бельчат с одинаковым числом орехов.
Поэтому для решения нашей задачки, попробуем решить иную, обратную. А именно, найдём такое количество бельчат, когда всем им достанется различное количество орехов.
Начнём раздавать различное количество орезов:
первому - 0 орехов
второму - 1 орешек
третьему - 2 орешка и т.д.
Это арифметическая прогрессия с первым членом равным нулю и шагом прогресси 1. Сумму считаем по формуле

Просто считается, что при n = 20, будет роздано 190 орехов, а при n = 21 - 210 орехов.
Из этого следует, что при 20 бельчатах остётся ещё 10 орехов, которые придётся кому-нибудь из их дать дополнительно. Но, если мы все 10 оставшихся орехов отдадим бельчонку, у которого теснее 19 орехов, то в итоге ни у каких двоих бельчат не окажется по схожему числу орехов. Если 21 бельчат, то ещё 10 бельчатам не хватит орехов. И у 11 бельчат будет по 0 орехов.
Как следует, меньшее количество бельчат, удовлетворяющее условию задачки, одинаково 21.

Ответ: 21