Решите систему уравнений:[tex] left xy+z^2 =2 atop yz+ x^2 =2

Xy+z^2=2
yz+x^2=2
zx+y^2=2
-----------------------
Конечно, (1,1,1) - решение, но единственное ли?
Очевидно (-1,-1,-1) - тоже решение.
Вычтем из первого второе
у*(х-z)+(z-х)*(z+х)=0
Если х не равен z, то вероятно y=z+x
точно также вычитая из второго третье:
Если х не равен у, то возможно z=у+x
Наконец, из первого третье:
Если z не равен у, то вероятно х=у+z
-------------------
Если выполнено одно из критерий, вроде,х=у, получим обозначенные элементарные решения и , вероятно другие, к этому случаю вернемся.
По другому, решаем систему: х=у+z
                                           z=у+x
                                           y=z+x

 Есть решение (0,0,0), но оно не удовлетворяет  начальной системе.
  Между тем, у этой системы ,  (0,0,0) - единственное решение ( в этом несложно убедиться, подставив, например третье во 2-ое и получив
2х=0 и т.д.)
Пусть сейчас, к примеру х=у.
Тогда остаются два уравнения  x^2+z^2=2
                                                       xz+x^2=2
Вычитая одно из иного , получим  либо z=0 либо х=z, если z=0, то х=sqrt(2) либо х=-sqrt(2), по другому
получим те же элементарные решения. Если х=(+-)sqrt(2), то и у=(+-)sqrt(2),
так, что решения (sqrt(2),sqrt(2),0)  и (-sqrt(2),-sqrt(2),0)
Точно также решения (0,sqrt(2),sqrt(2)) и (sqrt(2),0,sqrt(2)) и т.д.

Означает решений всего 8: (1,1,1) ,(-1,-1,-1) , (sqrt(2),sqrt(2),0), (-sqrt(2),-sqrt(2),0),
(0,sqrt(2),sqrt(2)) ,(0,-sqrt(2),-sqrt(2)), (sqrt(2),0,sqrt(2)) и (-sqrt(2),0,-sqrt(2))