Ваня во столько раз ветше своей сестры Ани во сколько раз

6/Задание 5:

Ваня во столько раз ветше собственной сестры Ани, во сколько раз он молодее бабушки. Сколько лет Ване, если Ане нет ещё и 6 лет, а Ване совместно с бабушкой 112 лет? Возраст каждого - целое число лет.

РЕШЕНИЕ: Пусть Ане xlt;6 лет. Тогда Ване kх лет, а бабушке - k^2x лет.

По условию Ване вместе с бабушкой 112 лет:

kx+k^2x=112

k(1+k)x=112

Если k=1, то k(1+k)=112, но поочередных целых чисел, дающих в твореньи 112 нет.

Если k=2, то k(1+k)=56, тогда k=7, kx=7*2=14 лет Ване

Если k=3, то k(1+k)=112/3 - не целое число

Если k=4, то k(1+k)=28, но поочередных целых чисел, дающих в твореньи 28 нет.

Если k=5, то k(1+k)=112/5 - не целое число

Единственный вариант, когда Ане 2 года и Ване 14 лет.

ОТВЕТ: 14 лет

Пусть Ане х лет, а Вова старше сестры в у раз. Тогда ему уx лет, а бабушке у*уx  лет. 
По условию уx+у*уx = 112 уx(1+у) = 112 х - целое число, может принимать значения 1, 2, 3, 4 либо 5. Разложим 112 на множители. 112 = 2*2*2*2*7 
1) Пусть х=1, тогда у(у+1) = 2*2*2*2*7 
Но у(у+1) - творенье 2-ух соседних целых чисел,а 112 нельзя представить, как творенье 2-ух примыкающих чисел. 
2) Пусть х=2, тогда 2у(у+1) = 112 у(у+1) = 56 у(у+1) = 7*8   Означает, у=7,  у+1=8.
3)  х=2, у=7.  
Ответ: Ане 2 года,  Вове 14 лет, бабушке 98 лет