Сконструировать и обосновать теорему Пифагора

Квадрат гипотенузи равен сумме квадратов катетов

Одним из наиболее модных в учебной литературе доказательств алгебраической формулировки является доказательство с внедрением техники подобия треугольников, при этом оно практически конкретно выводится из аксиом и не использует понятие площади фигуры. В нём для треугольника \displaystyle \triangle ABC с прямым углом при верхушке \displaystyle C со сторонами \displaystyle a,b,c, противолежащими верхушкам \displaystyle A,B,Cсоответственно, проводится высота \displaystyle CH, при этом (сообразно признаку подобия по равенству 2-ух углов) появляются соотношения подобия: \displaystyle \triangle ABC\sim \triangle ACH и \displaystyle \triangle ABC\sim \triangle CBH, из чего конкретно следуют соотношения:

\displaystyle \frac ac=\frac HBa; \displaystyle \frac bc=\frac AHb.

При перемножении последних членовпропорций выводятся равенства:

\displaystyle a^2=c\cdot HB; \displaystyle b^2=c\cdot AH,

покомпонентное сложение которых даёт требуемый результат:

\displaystyle a^2+b^2=c\cdot \left(HB+AH\right)=c^2\,\Leftrightarrow \,a^2+b^2=c^2.